Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Vì \(SA = SB = SC\) nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì tam giác ABC cân tại B nên \(H \in BD\)

Trong (SBO) kẻ \(OK \bot SB\,\,\left( {K \in SB} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot OK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra OK là đoạn vuông góc chung của AC và SB nên \(d\left( {AC;SB} \right) = OK\)

Ta có: \(\Delta SAC = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SO = BO \Rightarrow SO = \dfrac{{BD}}{2} \Rightarrow \Delta SBD\) vuông tại S

Trong tam giác vuông SBD ta có: \(BD = \sqrt {S{B^2} + S{D^2}}  = a\sqrt 3 ;BO = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};SH = \dfrac{{SB.SD}}{{\sqrt {S{B^2} + S{D^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Trong tam giác SBO ta có: \({S_{\Delta SBO}} = \dfrac{1}{2}BO.SH = \dfrac{1}{2}SB.OK \Rightarrow OK = \dfrac{{BO.SH}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn B.