Cho góc nhón \(xOy.\) Điểm H nằm trên...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tính chất các điểm nằm trên tia phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Chỉ ra hai cạnh \(HB = HA \Rightarrow \Delta HAB\) cân.

b) Chứng minh C là trực tâm của tam giác \(OAB\) khi đó: \(BC \bot {\rm{Ox}}\)

c) Chứng minh khi \(\angle xOy = {60^0}\)thì tam giác \({\rm N}OD\) là tam giác đều, từ đó  \( \Rightarrow OD = O{\rm N}\) mà \(O{\rm N} = \frac{1}{2}OA\)

\( \Rightarrow OD = \frac{1}{2}OA\,\,\,\,hay\,\,\,OA = 2OD\) (đpcm).

Giải chi tiết:

a)

vì \(H\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\)

mà \(HA \bot {\rm{Ox}}{\rm{,}}\,{\rm{HB}} \bot {\rm{Oy}}\)nên ta có:

\(HA = HB\) (tính chất các điểm thuộc tia phân giác)

\( \Rightarrow \Delta HAB\) cân tại \(H\)

b) Xét hai tam giác vuông \(HBO\) và \(HAO\) ta có :

Cạnh huyền \(OH\,chung\)

Góc nhọn \({O_1} = {O_2}\)

\( \Rightarrow \Delta HBO = \Delta HAO\,\) (cạnh huyền-góc nhọn)

Do đó : \(OA = OB\) (cạnh tương ứng)

Xét tam giác \(OAB\) cân tại O do \(OA = OB\)(cmt)

Mà\(AD \bot BO\) \( \Rightarrow AD\) là đường cao.

C nằm trên tia phân giác góc O.  Hay CO là đường phân giác góc O.

Trong một tam giác cân đường phân giác cũng chính là đường cao.

Mặt khác CO giao với AD tại C

\( \Rightarrow C\) là trực tâm của tam giác OAB.

Do đó BC là đường cao.

Hay \(BC \bot OA\) hay \(BC \bot {\rm{Ox}}\) (đpcm).

c) Khi \(\angle xOy = {60^0}\) hãy chứng minh \(OA = 2OD.\)

Gọi N là trung điểm của OA, khi đó trong tam giác vuông AOD (vuông tại D)

Khi đó \(D{\rm N} = O{\rm N} = \frac{{OA}}{2}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\( \Rightarrow \Delta {\rm N}OD\) cân tại N         (1)

Mặt khác \(\angle AOD = \angle xOy = {60^0}\)     (2)

Từ (1) và (2) , suy ra \(\Delta {\rm N}OD\) là tam giác đều.

\( \Rightarrow OD = O{\rm N}\) mà \(O{\rm N} = \frac{1}{2}OA\)

\( \Rightarrow OD = \frac{1}{2}OA\,\,\,\,hay\,\,\,OA = 2OD\) (đpcm).