Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giá...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\A \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a//\left( Q \right)\\A,B \in a\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = d\left( {B;\left( Q \right)} \right) = d\left( {a;\left( Q \right)} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng hình chữ nhật ANBD.

Kẻ GI // BC \(\left( {I \in BD} \right)\),  \(GH \bot A'I\,\left( {H \in A'I} \right)\)

+) Ta có: \(C'N//\left( {A'MB} \right)\) (do \(C'N//MB\)) \( \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {N;\left( {A'BM} \right)} \right)\)

Mà \(GN//\left( {A'BM} \right)\) (do \(GN//A'M\)) \( \Rightarrow d\left( {N;\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right)\)

+) Ta có: \(BD//AN,\,\,AN//A'M \Rightarrow BD//A'M \Rightarrow A',M,B,D\) đồng phẳng

+) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot GI\,\,\left( {do\,\,ANBD\,la\,HCN} \right)\\BD \bot A'G\,\,\left( {do\,\,A'G \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A'GI} \right) \Rightarrow BD \bot GH\)

Mà  \(A'I \bot GH\,\, \Rightarrow GH \bot \left( {A'MB} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {A'BM} \right)} \right) = GH\)

+) Tính GH:

 \(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\Delta AA'G\) vuông tại G \( \Rightarrow A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \sqrt {\frac{{11}}{3}} a\)

\(GNBI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow GI = NB = \frac{a}{2}\)

\(\Delta A'GI\) vuông tại G,  \(GH \bot A'I \Rightarrow \frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{G{I^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{11}}{3}{a^2}}} = \frac{{47}}{{11{a^2}}} \Rightarrow GH = \sqrt {\frac{{11}}{{47}}} a\)

\( \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BM} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {47} }}a\)

Chọn: A