Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng giả thiết để chứng minh kết luận đúng.

Giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = {a^2} + {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^2} \ge 2.{a^2}.\dfrac{1}{{{a^2}}} = 2\) (BĐT Cauchy).

Dấu đẳng thức xảy ra khi: \({a^2} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^4} = 1 \Leftrightarrow a =  \pm 1\)

Tương tự: \({b^2} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 2;\,\,\,{c^2} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 2 \Leftrightarrow b = c =  \pm 1\).

Do đó: \({a^{2012}} + {b^{2012}} + {c^{2012}} = {\left( { \pm 1} \right)^{2012}} + {\left( { \pm 1} \right)^{2012}} + {\left( { \pm 1} \right)^{2012}} = 3\).

Vậy \(\forall {a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 6\), ta có: \({a^{2012}} + {b^{2012}} + {c^{2012}} = 3\)