Cho 3 điểm \(A,\,\,B,\,C\) cố định và thẳng hàng t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào các yếu tố cố định.

Giải chi tiết:

Phần thuận:

\(\angle ACD = {90^0}\) nên \(AD\) là đường kính của đường tròn \(\left( {ACD} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow A{M^2} = AB.AC \Rightarrow AM = \sqrt {AB.AC} \).

Vậy \(AM = AN\) không đổi do dó \(M,\,\,N\) thuộc đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

\(D\) là điểm di động trên đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(M,\,\,N\) chuyển động trên đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

Phần đảo:

Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

Vẽ \(AH \bot MB\,\,\left( {H \in MB} \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại \(D\), \(MH\) cắt \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\) tại \(N\) ta có \(AM = AN = \sqrt {AB.AC} \).

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\) có: \(\angle A\) chung, \(\angle AHB = \angle ACD = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ACD\,\,\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC\). Do đó \(A{M^2} = A{N^2} = AH.AD\).

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta ADM\) có: \(\angle A\) chung; \(\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AM}}\).

Tương tự \(N\) cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\left( {ACD} \right)\).

Kết luận: Tập hợp các điểm \(M,\,\,N\) là đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).