Cho \(M\) là điểm trên nửa đường tròn \(\left( O \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CM,\) gọi \(F'\) là giao điểm của \(IE\) và \(\left( {O'} \right)\).

Xét tam giác \(IBC\) và tam giác \(IMA\) có:

\(\angle AIM\) chung;

\(\angle IBC = \angle IMA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(ABCM\))

\( \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta IMA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IM}} = \dfrac{{IC}}{{IA}} \Rightarrow IA.IB = IC.IM\).

Chứng minh tương tự ta có \(IA.IB = IC.IM = IE.IF'\).

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(MHA,\,\,MHB\) ta có

\(ME.MA = M{H^2} = MF.MB\)

Mà tứ giác \(AEF'B\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow ME.MA = MF'.MB \Rightarrow F \equiv F'\).

Vậy \(AB,EF,CM\) đồng quy.