Giải phương trình nghiệm nguyên \({x^4} + {x^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + n} \right) < a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)...\left( {a + n} \right) < \left( {x + m} \right)\left( {x + m + 1} \right)\left( {x + m + 2} \right)...\left( {x + m + n} \right)\) thì \(a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)...\left( {a + n} \right) = \left( {x + i + 1} \right)\left( {x + i + 2} \right)...\left( {x + i + n - 1} \right),i = \overline {1;m - 1} \)

Giải chi tiết:

Ta thấy \({x^4} + {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) < {x^4} + {x^2} + 4 = {y^2} - y\)\( \Rightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) < y\left( {y - 1} \right)\)

Ta có: \({x^4} + {x^2} + 4 < {x^4} + 5{x^2} + 6 = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) \Rightarrow y\left( {y - 1} \right) < \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\)

Vậy \({x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) < y\left( {y - 1} \right) < \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) \Rightarrow y\left( {y - 1} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Ta có: \({x^4} + {x^2} + 4 = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = {x^4} + 3{x^2} + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow {y^2} - y = 6 \Leftrightarrow {y^2} - 3y + 2y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Nếu \(x =  - 1 \Leftrightarrow {y^2} - y = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm nguyên \(\left( {1;3} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( { - 1;3} \right),\left( { - 1; - 2} \right)\)

Chọn C.