Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(ABCD\) là hình thang cân.

- Kẻ \(AH \bot CD\). Sử dụng cộng, trừ đoạn thẳng, tính độ dài \(HC,\,\,HD\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

- Công thức tính diện tích hình thang: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{AH\left( {AB + CD} \right)}}{2}\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(AD,\,\,BC\).

- Tính chu vi hình thang: \({C_{ABCD}} = AB + BC + CD + DA\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\angle DAC = \angle DBC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle BAD + \angle BCD = {180^0}\).

Mà \(\angle BAD + \angle ADC = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle BCD\).

\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang cân.

Kẻ \(AH \bot CD\) tại \(H.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}HD = \dfrac{{CD - AB}}{2} = 18\,\,\,\left( {cm} \right)\\HC = CD - HD = 32\,\,\,\left( {cm} \right).\end{array}\)

Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH,\) ta có:

\(A{H^2} = HC.HD = 18.32 \Rightarrow AH = 24\,\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Diện tích hình thang \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AH.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.24.\left( {14 + 50} \right) = 768\,\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(AHD\) vuông tại \(H:\)

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {24^2} + {18^2} = 900 \Rightarrow AD = 30\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(BC = AD = 30\,\,\left( {cm} \right).\)

Chu vi hình thang \(ABCD\) là: \({C_{ABCD}} = AB + BC + CD + AD = 14 + 30 + 50 + 30 = 124\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Vậy \({S_{ABCD}} = 768\,\,c{m^2},\,\,{C_{ABCD}} = 124\,\,cm.\).

Chọn D.