Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 4{x^3} -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Bước 3: Do tiếp tuyến đi qua điểm M như đề bài nên ta thay tọa độ M vào phương trình tiếp tuyến ta tìm được \({x_0} = ? \Rightarrow {y_0} = ?\)

Bước 4. Viết phương trình tiếp tuyến tại A

Giải chi tiết:

\(y = 4{x^3} - 6{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 12{x^2} - 12x\)

Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị là \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Có  \({y_0} = 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1;\,\,y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 12{x_0}\)

Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\)

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M( - 1; - 9)  nên ta có: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 9 = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow - 9 = - 12x_0^2 - 12x_0^3 + 12{x_0} + 12x_0^2 + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow 8x_0^3 + 6x_0^2 - 12{x_0} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {4x_0^2 - {x_0} - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = \frac{5}{4}\end{array} \right..\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm thực  nên có 2 tiếp tuyến đi qua M.

Chọn B