Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi cạnh a...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Xác định \({{30}^{0}}=\widehat{\left( SD;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SD;HD \right)}=\widehat{SDH}\) và \(SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\frac{2}{3}a\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2a}{3}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}BH \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \frac{{d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\end{array}\).

Ta có \(HC\bot AB\Rightarrow HC\bot CD\).

Kẻ \(HK\bot SC\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HC\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HK\)

Tam giác vuông \(SHC\), có \(HK=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{\frac{2a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{{\left( \frac{2a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{21}}{21}\).

Vậy \(d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}HK=\frac{a\sqrt{21}}{7}\).

Chọn B.