Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y={{x}^{4}}-4...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) của hàm số \(y=f\left( x \right)\) có hệ số góc \(k=f'\left( {{x}_{0}} \right)\).

Hai đường thẳng \(\left( d \right):y=kx+a\,\,;\,\left( d' \right):y=k'x+b\) vuông góc với nhau thì \(k.k'=-1\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-8x\)

Gọi \(\left( d' \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) và vuông góc với đường thẳng d thì hệ số góc của d’ là: \(k=y'\left( {{x}_{0}} \right)=4x_{0}^{3}-8{{x}_{0}}\)

Vì

\(\begin{array}{l}d' \bot d \Rightarrow k.\frac{1}{4} = - 1 \Leftrightarrow k = - 4\\ \Rightarrow 4x_0^3 - 8{x_0} = - 4 \Leftrightarrow x_0^3 - 2{x_0} + 1 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x_0^2 + {x_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn D.