Cho điểm $M\left( {4;2;4} \right)$. Mặt phẳng (P...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.

+) Sử dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} = 1$.

Do OABC là khối chóp vuông nên ${V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc$.

Ta có $1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{4.2.4}}{{abc}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{32}}{{abc}} \le \dfrac{1}{{27}} \Leftrightarrow abc \ge 864$

Vậy ${V_{OABC}} \ge \dfrac{1}{6}.864 = 144 \Rightarrow {V_{OABC}}{\,_{\min }} = 144 \Leftrightarrow \dfrac{4}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 6\\c = 12\end{array} \right.$.

Chọn C.