Nếu đặt \(t=\sqrt{3\tan x+1}\) thì tích \(I=\int\l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{3\tan x+1}\), lưu ý đổi cận.

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{3\tan x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3\tan x+1\Leftrightarrow 2tdt=\frac{3}{{{\cos }^{2}}x}dx\) và \(\tan x=\frac{{{t}^{2}}-1}{3}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\) . Khi đó ta có:

\(I = \int\limits_1^2 {\frac{{2\tan x.3}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx}  = 2\int\limits_1^2 {\frac{{\frac{{{t^2} - 1}}{3}.2tdt}}{t}}  = \frac{4}{3}\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 1} \right)dt} \)

Chọn A.