Một màn ảnh hình chữ nhật cao \(1,4m\) được đặt ở...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác và công thức lượng giác xác định độ lớn của góc cần tính thông qua khoảng cách. Khảo sát hàm số tìm min – max

Giải chi tiết:

Lời giải:

Với bài toán này, ta cần xác định \(OA\) để góc \(\widehat{BOC}\) lớn nhất. Điều này xảy ra \(\Leftrightarrow \)\(\tan \widehat{BOC}\) lớn nhất.

Đặt \(OA=x\,\,\,\left( m \right)\) với \(x>0.\) Ta có:

\(\tan \widehat{BOC}=\tan \left( \widehat{AOC}-\widehat{AOB} \right)=\frac{\tan \widehat{AOC}-\tan \widehat{AOB}}{1+\tan \widehat{AOC}.tan\widehat{AOB}}\)\(=\frac{\frac{AC}{OA}-\frac{AB}{OA}}{1+\frac{AC.AB}{O{{A}^{2}}}}=\frac{\frac{1,4}{x}}{1+\frac{3,2.1,8}{{{x}^{2}}}}=\frac{1,4x}{{{x}^{2}}+5,76}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1,4x}{{{x}^{2}}+5,76}\) trên \(\left( 0;+\,\infty  \right),\) có:

\({f}'\left( x \right)=\frac{-\,1,4{{x}^{2}}+1,4.5,76}{{{\left( {{x}^{2}}+5,76 \right)}^{2}}};\,\,{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x>0 \\ & {{x}^{2}}=5,76 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=2,4.\)

Tính các giá trị \(f\left( 0 \right)=0;\,\,f\left( 2,4 \right)=\frac{7}{24};\,\,\underset{x\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) suy ra \(\underset{\left( 0;+\,\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\frac{7}{24}.\)

Vậy khoảng cách \(OA\) cần tìm là \(2,4\,\,m.\)

Chọn A