Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho ba điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\)=k.MJ với J là một điểm cố định. Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB\(\Rightarrow I(0;2;-1)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC} \right|=2\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|\)

Gọi J là trung điểm của IC\(\Rightarrow J\left( 0;2;1 \right)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MJ} \right|=2MJ\)

Suy ra \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=4.MJ\)

\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MJ\) đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MJ:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;2} \right)\\J(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow MJ:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\6t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

Chọn D