Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

+) Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}H \in \left( {ABC} \right)\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\). Giải hệ phương trình tìm \(H\).

+) 1VTPT của mặt phẳng cần tìm là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AH} ;{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right]\).

+) Viết phương trình mặt phẳng cần tìm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;5; - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 21; - 3; - 19} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(21\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) + 19\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 21x + 3y + 19z - 50 = 0\).

Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}H \in \left( {ABC} \right)\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a + 3b + 19c - 50 = 0\\\left( {a - 1;b + 3;c - 2} \right)\left( {5;3; - 6} \right) = 0\\\left( {a + 2;b + 1;c - 5} \right).\left( {2;5; - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a + 3b + 19c - 50 = 0\\5a + 3b - 6c + 16 = 0\\2a + 5b - 3c + 24 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{1186}}{{811}}\\b = \dfrac{{ - 3538}}{{811}}\\c = \dfrac{{1382}}{{811}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {\dfrac{{375}}{{811}}; - \dfrac{{1105}}{{811}}; - \dfrac{{240}}{{811}}} \right)//\left( {75; - 221; - 48} \right)\)

\({\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left( {21;3;19} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AH} ;{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right] = \left( { - 4055; - 2433;4866} \right) = \left( {5;3; - 6} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : \(5\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) - 6\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 6z + 16 = 0\).

Chọn C