Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trò...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh \(\angle AMH + \angle ANH = {180^0}\) suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

2) Ta chứng minh hai góc tương ứng phụ  với hai góc bằng nhau thì bằng nhau.

3) Chứng minh \(\angle OAC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN.\)

Giải chi tiết:

1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC \( \Rightarrow \angle AMH = \angle ANH = {90^0}\)

Xét tứ giác AMHN ta có: \(\angle AMH + \angle ANH = {180^0}.\)

Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)

Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra \(\angle MAH = \angle MNH\)

(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).

Mặt khác: \(\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).

                   \(\angle ANM + \angle MNH = {90^0}\;\;\left( {\angle ANH = {{90}^0}} \right)\)

Suy ra: \(\angle ABH = \angle ANM\;\;\left( { = {{90}^0} - \angle MNH} \right)\;\;\;(dpcm).\)

3) Chứng minh OA vuông góc với MN.

Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.

Ta có: \(\angle CA'A = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Góc \(\angle A'CA\) chắn nửa đường tròn nên \(\angle A'CA = {90^0}.\)

\( \Rightarrow \angle CA'A + \angle A'AC = {90^0}.\) (Tổng hai góc trong tam giác vuông)

Mà \(\angle ABC + \angle BAH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).

\( \Rightarrow \angle BAH = \angle A'AC.\)

Lại có: \(\angle ABC = \angle ANM\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle A'AC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN\;\;(dpcm).\)

4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHC\) vuông tại H và có đường cao HN ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = AN.AC = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2} = AO.AA'\\ \Rightarrow AN.AC = AO.AA'\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}.\end{array}\)

Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta AA'C\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta AON \sim \Delta ACA'\;\;\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \angle AON = \angle ACA' = {90^0}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle AOM = \angle A'BA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle AOM + \angle AON = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow O,\;M,\;N\) thẳng hàng (đpcm).