Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, tính chất hai tam giác đồng dạng, tính chất đường trung bình của tam giác.

Giải chi tiết:

a) Vì \(\left\{ \begin{align}  & M\text{D}\bot AB \\  & ME\bot AC \\ \end{align} \right.\left( gt \right)\Rightarrow \angle M\text{D}A=\angle ME\text{A}={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác \(A\text{D}ME\) có: \(\left\{ \begin{align}  & \angle MDA=\angle ME\text{A}={{90}^{0}}\left( cmt \right) \\  & \angle DAE={{90}^{0}}\left( gt \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Tứ giác \(A\text{D}ME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & \angle AMC=\angle BAC={{90}^{0}}\left( gt \right) \\  & \angle C\,\,chung \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AMC\sim \Delta BAC\left( g-g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AM.BC=AB.AC\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

c) Gọi \(O\)  là giao điểm của \(DE\)  và \(AM\) . Ta có \(DME\text{A}\) là hình chữ nhật (cmt)

\(\Rightarrow OM=OE\) (tính chất hình chữ nhật)

\(\Rightarrow \Delta OM\text{E}\) cân tại \(O\)  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow \angle OME=\angle OEM\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta MEC\) vuông tại \(E\)  và có \(I\)  là trung điểm của \(MC\)  (gt)

\(\Rightarrow EI=\frac{MC}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Mà \(I\)  là trung điểm của \(MC\)  (gt) \(\Rightarrow MI=IC\left( 2 \right)\) (tính chất trung điểm)

Từ (1) và (2) suy ra \(EI=MI\Rightarrow \Delta MIE\) cân tại \(I\)  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow \angle IME=\angle IEM\) (tính chất tam giác cân)

Mặt khác, \(\angle AME+\angle EMC={{90}^{0}}\Rightarrow \angle DEM+\angle MEI={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta DEI\) vuông tại \(E\)  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

d) Vì \(EI=\frac{MC}{2}\left( cmt \right)\Rightarrow MC=2\text{E}I\)  Mà \(DE=2\text{E}I\Rightarrow DE=MC\)

Suy ra \(D,\,E\)  là trung điểm của \(AB\)  và \(AC\) . Thật vậy, ta có:

\(D,\,E\)  là trung điểm của \(AB\)  và \(AC\)  \(\Rightarrow DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow DE//BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Mà DMEA là hình chữ nhật (cmt) \(\Rightarrow DM//A\text{E}\) (tính chất hình chữ nhật)

Hay \(DM//EC\left( 4 \right)\) . Từ (3) và (4) suy ra tứ giác \(DMCE\)  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

\(\Rightarrow DE=MC\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(MC=2\text{E}I\left( cmt \right)\Rightarrow DE=2\text{E}I\)

Vậy để \(DE=2\text{E}I\) thì \(D,\,E\)  là trung điểm của \(AB\)  và \(AC.\)