Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tam giác AOC cân tại O, từ đó chứng minh OH là đường cao đồng thời cũng là trung trực của cạnh AC. Chứng minh hai tam giác bằng nhau để có \(\angle DCO = {90^o}\).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Vẽ thêm hình, dựa vào tính chất trung trực và định lí Ta-lét để chứng minh \(\)

\(KM = \frac{1}{2}KF\), từ đó suy ra\(MK = MF\).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

Xét tam giác AOC có: \(AO = CO\)(do cùng là bán kính), suy ra tam giác AOC cân tại O

Mà có OH  là đường cao ứng với đỉnh O nên OH đồng thời cũng là trung trực của AC

Suy ra \(HA = HC\). (đpcm)

Xét tam giác AOC cân tại O có OH  là đường cao, suy ra OH  đồng thời là đường phân giác

\( \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\).

Xét tam giác DOC và tam giác DOA có:

+) Chung cạnh OD

+) \(AO = CO\)(do cùng là bán kính)

+) \(\angle AOH = \angle COH\)

\( \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\)(do AD là tiếp tuyến nên \(\angle DAO = {90^o}\))\(\) \(\)

b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

Xét tam giác vuông ADO vuông tại A có AH  là đường cao

\( \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                     (1)

Xét tam giác vuông DAB  vuông tại A có AE  là đường cao ( AE vuông góc với BD do \(\angle AEB\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DH.DO = DE.DB\;\;\left( { = A{D^2}} \right)\) (đpcm) \(\) \(\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho E  là trung điểm cạnh AF. Từ  F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng  FK  cắt đường thẳng BC  tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Kéo dài BM cắt AD tại G, GF cắt AB tại  L

Xét tam giác ABG có:

\(\begin{array}{l}DO//BG\;\left( { \bot AC} \right)\\OA = OB\;\left( { = R} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = DG\)  (tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GFA có:

+) D là trung điểm của AG (do\(AD = DG\))

+) E là trung điểm của AF (giả thiết)

\( \Rightarrow \) DE song song với GF  (tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GAL có:

+) D là trung điểm AG (do \(AD = DG\))

+) DB song song với GL (do DE song song với GF)

Suy ra B là trung điểm của AL (tính chất đường trung bình), suy ra\(AB = \frac{1}{2}AL\)\(\)

Xét tam giác GKM có KM song song với AB (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \frac{{KM}}{{AB}} = \frac{{KG}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)              (3)

Xét tam giác GAL có KF song song với AL (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \frac{{KF}}{{AL}} = \frac{{GK}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)                            (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \frac{{KM}}{{AB}} = \frac{{KF}}{{AL}}\). Mà có \(AB = \frac{1}{2}AL\) (cmt)

\( \Rightarrow KM = \frac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \frac{1}{2}KF = \frac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\)(đpcm).