Cho đường tròn \(\left( O \right)\)  đường kính AB...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh tứ giác BMNH có tổng hai góc đối bằng 180⁰

2. Chứng minh số đo cung AC = số đo cung AD. Sử dụng tính chất: Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

3. Chứng minh hai tam giác AND và AMD đồng dạng.

4. Chứng minh I là giao điểm của hai đường phân giác MA và CB của tam giác CMP.

Giải chi tiết:

1. Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn.

Ta có \(\widehat{BMN}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat{BHN}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\)

Xét tứ giác BMNH có \(\widehat{BMN}+\widehat{BNH}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BMNH nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2. Chứng minh MA là phân giác của góc CMD.

\(AB\bot CD\) tại H \(\Rightarrow \) H là trung điểm của CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\(\Rightarrow \Delta ACD\) cân tại A (AH là trung tuyến đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow AC=AD\Rightarrow \) số đo cung AC = số đo cung AD.

\(\Rightarrow \widehat{CMA}=\widehat{DMA}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Vậy AM là phân giác của góc CMD.

3. Chứng minh \(A{{D}^{2}}=AM.AN\)

Lại có \(\widehat{CMA}=\widehat{CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow \widehat{CDA}=\widehat{DMA}\Rightarrow \widehat{NDA}=\widehat{DMA}\)

Xét tam giác ADN và tam giác AMD có:

\(\widehat{MAD}\) chung;

\(\widehat{NDA}=\widehat{DMA}\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADN\backsim \Delta AMD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AD}{AM}=\frac{AN}{AD}\Rightarrow A{{D}^{2}}=AM.AN\ \ \left( dpcm \right)\)

4. Gọi I là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP.

Ta có \(OC=OD\Rightarrow \) O thuộc trung trực của CD, \(AC=AD\Rightarrow \) A thuộc trung trực của CD.

Suy ra AB là trung trực của CD.

\(B\in AB\Rightarrow BC=BD\Rightarrow \Delta BCD\) cân tại B \(\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BDC}\)

\(P\in AB\Rightarrow PC=PD\Rightarrow \Delta PCD\) cân tại P \(\Rightarrow \widehat{PCD}=\widehat{PDC}\)

\(\Rightarrow \widehat{BCD}-\widehat{PCD}=\widehat{BDC}-\widehat{PDC}\Rightarrow \widehat{BCP}=\widehat{BDP}\)

Lại có \(\widehat{BDP}=\widehat{BDM}=\widehat{BCM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM của (O)).

\(\Rightarrow \widehat{BCP}=\widehat{BCM}\Rightarrow CB\) là phân giác của góc MCP.

Xét tam giác CMP có:

MA là phân giác của góc CMD;

CB là phân giác của MCP ;

\(MA\cap CB=I\,\,\left( gt \right)\)

\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP (đpcm).