Cho hình chóp \(S.MNPQ\) có đáy là hình vuông cạnh...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình hình hành \(MNAP\), chứng minh \(d\left( {SN;MP} \right) = d\left( {M;\left( {SAN} \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

Dựng hình hình hành \(MNAP\) ta có \(MP//NA \Rightarrow MP//\left( {SAN} \right)\).

\(d\left( {SN;MP} \right) = d\left( {MP;\left( {SAN} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SAN} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {MNPQ} \right)\) kẻ \(MH \bot AN\,\,\left( {H \in AN} \right)\), trong \(\left( {SMH} \right)\) kẻ \(MK \bot SH\,\,\left( {M \in SH} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AN \bot MH\\AN \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AN \bot \left( {SMH} \right) \Rightarrow MK \bot AN\\\left\{ \begin{array}{l}MK \bot AN\\MK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow MK \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAN} \right)} \right) = MK\end{array}\)

Gọi \(O = MP \cap NQ\). Dễ dàng chứng minh được OMHN là hình chữ nhật \( \Rightarrow MH = ON = \dfrac{1}{2}NQ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SMH\) ta có: \(MK = \dfrac{{SM.MH}}{{\sqrt {S{M^2} + M{H^2}} }} = \dfrac{{2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{2}} }} = \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(d\left( {SN;MP} \right) = \dfrac{2}{3}\).

Chọn D