Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({d^2} + {r^2} = {R^2}\)

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                 \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

                \(R\): bán kính hình cầu. 

Giải chi tiết:

Mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1\), có tâm \(I\left( {1; - 1;0} \right)\), bán kính \(R = 1\)

(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(\sqrt 2 \pi  \Rightarrow r = \dfrac{{\sqrt 2 \pi }}{{2\pi }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {d^2} + \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow d = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\): khoảng cách từ I đến (P)

Giả sử (P) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right) \Rightarrow (P):ax + by + cz + d = 0\)

Do (P) đi qua \(A\left( {0; - 1;1} \right),B\left( {1; - 2;1} \right)\) và \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - b + c + d = 0\\a - 2b + c + d = 0\\\dfrac{{\left| {a - b + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - b + c + d = 0\\\dfrac{{\left| {a - b + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\d = b - c\\\dfrac{{\left| {b - c} \right|}}{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{{\left| {b - c} \right|}}{{\sqrt {2{b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {b - c} \right| = \sqrt {2{b^2} + {c^2}}  \Leftrightarrow 2{b^2} - 4bc + 2{c^2} = 2{b^2} + {c^2} \Leftrightarrow  - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = 4b\end{array} \right.\)

+) \(c = 0 \Rightarrow a = b = d\). Cho \(a = b = d = 1 \Rightarrow (P):x + y + 1 = 0\)

+) \(c = 4b \Rightarrow d =  - 3b\). Cho \(b = 1 \Rightarrow a = 1;\,\,c = 4;\,\,d =  - 3 \Rightarrow \left( P \right):x + y + 4z - 3 = 0\).

Chọn: D