Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow \angle \left( {CM;BD} \right) = \angle \left( {CM;MN} \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow MN//BD\).

\( \Rightarrow \angle \left( {CM;BD} \right) = \angle \left( {CM;MN} \right)\).

Dễ thấy \(\Delta ABC = \Delta ADC \Rightarrow CM = CN \Rightarrow \Delta CMN\) cân tại \(C\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow CH \bot MN\).

Ta có:

Tam giác \(ABC\) cân tại \(a \Rightarrow CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABD \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\).

\( \Rightarrow MH = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{a}{4}\).

Xét tam giác vuông \(CMH\) có: \(\cos \angle CMH = \dfrac{{MH}}{{CM}} = \dfrac{{\dfrac{a}{4}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) .

Vậy \(\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.