Cho điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,\,y =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Gọi \(M\left( {m;\frac{{m - 3}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\), tính độ dài MI.

+) Sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của \(M{I^2}\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \(y = 1\) và \(x =  - 1\).

\( \Rightarrow I\left( { - 1;1} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Gọi \(M\left( {m;\frac{{m - 3}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\) ta có:

\(M{I^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{a - 3}}{{a + 1}} - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2}.\frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}  = 8\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 3\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow M{I^2} \ge 8 \Leftrightarrow MI \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy \(M{I_{\min }} = 2\sqrt 2 \).

Chọn D.