a) Cho \(a - b = \frac{{2\pi }}{3}\). Tính giá trị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\,\,;\,\,\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

b) Áp dụng công thức lượng giác biến tổng thàng tích.

c) \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,;\,\,\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\,\,;\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x\,\,;\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1 = 1 - 2{\sin ^2}x\)

Giải chi tiết:

a) Cho \(a - b = \frac{{2\pi }}{3}\). Tính giá trị \(P = {\left( {\sin a + \sin b} \right)^2} + {\left( {\cos a + \cos b} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\sin a + \sin b} \right)^2} + {\left( {\cos a + \cos b} \right)^2}\\ = {\sin ^2}a + {\sin ^2}b + 2\sin a\sin b + {\cos ^2}a + {\cos ^2}b + 2\cos a\cos b\\ = 2\left( {\cos a\cos b + \sin a\sin b} \right) + \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + \left( {{{\sin }^2}b + {{\cos }^2}b} \right) = 2\cos \left( {a - b} \right) + 1 + 1\\ = 2\cos \frac{{2\pi }}{3} + 2 = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2 = 1.\end{array}\)                                            

b) Rút gọn biểu thức \(Q = \frac{{\sin \left( {x + y} \right) + \sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) - \cos \left( {x - y} \right)}}\)

\(Q = \frac{{\sin \left( {x + y} \right) + \sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) - \cos \left( {x - y} \right)}} = \frac{{2\sin x\cos y}}{{ - 2\sin x\sin y}} =  - \frac{{\cos y}}{{\sin y}} =  - \cot y.\)

c) Chứng minh \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = \frac{{6 + 2\cos 4x}}{{1 - \cos 4x}}\) 

 \(\begin{array}{l}VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2} + {{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^2}}}{{4{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\\ = \frac{{2{{\cos }^2}2x + 2}}{{{{\sin }^2}2x}} = \frac{{1 + \cos 4x + 2}}{{\frac{{1 - \cos 4x}}{2}}} = \frac{{3 + \cos 4x}}{{\frac{{1 - \cos 4x}}{2}}} = \frac{{6 + 2\cos 4x}}{{1 - \cos 4x}} = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Vậy \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = \frac{{6 + 2\cos 4x}}{{1 - \cos 4x}}.\)

Chọn B.