a) Cho parabol \(\left( P \right)...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bất đẳng thức Mincopski (bdt vector ) : Cho các số thực \(a,b,x,y\) ta có :

\(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+x \right)}^{2}}+{{\left( b+y \right)}^{2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

b)  Phân tích phương trình (1) thành nhân tử , sau đó thế xuống phương trình (2)

Giải chi tiết:

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình :

\(\frac{1}{4}{{x}^{2}}=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \left( 2x-3 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\ & x=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\)

Suy ra \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại \(A\left( 4;4 \right),B\left( \frac{3}{2};\frac{9}{16} \right)\)

Giả sử \(C\left( 0;a \right)\) là điểm cần tìm

\(\Rightarrow CA+CB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(4-a)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a-\frac{9}{16} \right)}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( 4+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\left( 4-a+a-\frac{9}{16} \right)}=\frac{11\sqrt{89}}{16}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{4}{\frac{3}{2}}=\frac{4-a}{a-\frac{9}{16}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)

Vậy \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) là điểm cần tìm.

b) Xét phương trình (1) ta có

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;2{x^2} + xy - {y^2} - 5x + y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2xy - 4x - xy - {y^2} + 2y - x - y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2x(x + y - 2) - y\left( {x + y - 2} \right) - \left( {x + y - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + y - 2} \right)\left( {2x - y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 2 = 0\\
2x - y - 1 = 0
\end{array} \right..
\end{array}\)

 +) Với \(x+y-2=0\Leftrightarrow x=2-y\)  Thay vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{align}  & \left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+2-y+y-4=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y+4+{{y}^{2}}-2=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=2-y=1. \\\end{align}\)

Vậy \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(2x-y-1=0\Leftrightarrow y=2x-1\)  Thay vào phương trình (2) ta có:

\({x^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} + x + 2x - 1 - 4 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = - \frac{{13}}{5}
\end{array} \right..\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

Chọn C