Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn: \({x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về sử dụng bất đẳng thức Cô-si      

Giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có : \({x^2} + {y^2} \ge 2xy \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \ge xy\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}.\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 3(x + y) \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{2}\\ \Rightarrow 6\left( {x + y} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Rightarrow 6 \ge x + y\end{array}\)

Lại có : \(x,\;y \in {Z^ + } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 3\\x + y = 4\\x + y = 5\\x + y = 6\end{array} \right.\)

TH1 : \(x + y = 2 \Rightarrow x = y = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1 + 1 = 2 \ne 3 \Rightarrow ktm.\)

TH2 : \(x + y = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;\;y = 1\\x = 1;\;y = 2\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 5\;\;\left( {ktm} \right)\) 

TH3: \(x + y = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3;\;y = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1;\;y = 3 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10\;\;\left( {ktm} \right)\\x = y = 2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 8\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH4: \(x + y = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3;\;y = 2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 13\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 2;\;y = 3 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 13\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 4;\;y = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 17\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1;\;y = 4 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 17\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\;\)

TH5: \(x + y = 6 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4;\;y = 2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 20\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 2;\;y = 4 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 20\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 5;\;y = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 26\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1;\;y = 5 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 26\;\;\left( {ktm} \right)\\x = y = 3 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 18 = 3\left( {3 + 3} \right)\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm dương của phương trình đã cho là \(\left( {3;\;3} \right).\) 

Chọn A.