Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\)  thỏa mãn: \(x...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi giả thiết từ đó ra GTNN của \(xy + yz + zx,\) áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz.

Giải chi tiết:

Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {xy + yz + xz} \right)^2} \ge {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + xz + yz} \right)\\ \Rightarrow xy + xz + yz \ge 3.\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có :

\(\begin{array}{l}VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}  + \sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {{y^2} - 2y + 4} \right)}  + \sqrt {\left( {z + 2} \right)\left( {{z^2} - 2z + 4} \right)} }}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {x + y + z + 6} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 12} \right]} }}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {2xy + 2xz + 2yz + 3} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 12} \right]}}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15 + 2\left( {xy + xz + yz} \right)}}\\ \Leftrightarrow VT\frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15}}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Ta cần chứng minh :

\(\begin{array}{l}\frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15}} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} + 2\left( {x + y + z} \right) - 15 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z + 5} \right)\left( {x + y + z - 3} \right) \ge 0\end{array}\)

Điều này là luôn đúng do : \(x + y + z \ge \sqrt {3\left( {xy + xz + yz} \right)}  = 3.\)

Dấu ‘’=’’  xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)

Vậy : \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1.\)