Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác OACE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác BOE đồng dạng với tam giác BCA.

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

Vì E là trung điểm của BD \( \Rightarrow OE \bot BD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác OACE có \(\widehat {OAC} + \widehat {OEC} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OACE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh rằng \(BE.BC = 2{R^2}\)

Xét tam giác BOE và tam giác BCA có:

\(\widehat {ABC}\) chung;

\(\widehat {OEB} = \widehat {BAC} = {90^0}\);

\(\Rightarrow \Delta BOE\backsim \Delta BCA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{BO}{BC}\Leftrightarrow BE.BC=BA.BO=2R.R=2{{R}^{2}}\)

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Ta có tứ giác OACE nội tiếp \( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OACE.

\( \Rightarrow \) Tâm I thuộc đường trung trực của OA.

Mà OA cố định \( \Rightarrow \) Trung trực của OA cố định.

Vậy khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE di chuyển trên trung trực của OA.