Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thay \(x = 2\) và phương trình để tìm m.

+) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét để làm bài toán.

Giải chi tiết:

\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right),\)

1) Tìm m để \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (1).

Thay \(x = 2\) vào phương trình  (1) ta có: \({2^2} - 2\left( {m + 1} \right).2 + {m^2} + 2 = 0\,\, \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \\m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(m \in \left\{ {2 - \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right\}\)

2) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2 > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - {m^2} - 2 = 5\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 2 - {m^2} - 2 - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 5m - m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\left( {tm} \right)\\m =  - 5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.