Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh OM và BD cùng vuông góc với giao tuyến AC. Từ đó xác định góc giữa hai mặt phẳng.

+) Hạ \(MH \bot OB,\) tính OH và OM, sau đó tính cos góc giữa hai mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Vì chóp S.ABCD là chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC\)

Mà \(BD \bot AC\)

Lại có: \(AC \bot \left( {SBD} \right)\)(do \(AC \bot BD\) và \(AC \bot SO\)) \( \Rightarrow AC \bot OM\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AMC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\OM \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AMC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OM;BD} \right)} = \widehat {MOB}\)

Ta có: \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};\,MB = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông SOB có \(OM = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SOB).

Hạ \(MH \bot OB \Rightarrow \) H là trung điểm của OB (MH là đường trung bình của tam giác SBO) \( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Xét tam giác vuông OMH có: \(\cos \widehat {MOB} = \dfrac{{OH}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\dfrac{2}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {MOB} = {45^0}.\)

Chọn B.