Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy ABC là...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

ABC là tam giác vuông với \(AB = AC = a\) nên tam giác ABC vuông cân tại A

\( \Rightarrow \Delta A'AC = \Delta A'AB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'C = A'B\)(hai cạnh tương ứng).

Gọi D là trung điểm của BC \( \Rightarrow AD \bot BC\).

Có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {AA'D} \right)\)

Trong \(\left( {AA'D} \right)\) kẻ \(AE \bot A'D\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot A'D\\AE \bot BC(BC \bot \left( {AA'D} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AE\)  

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC';AC'} \right)} = \widehat {BC'A} = {30^0}\)(Vì \(\widehat {BC'A} < {90^0}\)) 

\(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \( \Rightarrow AC' = AB.\cot 30 = a\sqrt 3 \)                                                                                                          

Xét tam giác vuông AA’C’ có: \(AA' = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông cân ABC có: \(AD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AD \Rightarrow \Delta AA'D\) vuông tại A

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{2{a^2}}} \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

Chọn D.