Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \(O=AC\cap BD\). Vì chóp S.ABCD là chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi E là trung điểm của OA \(\Rightarrow ME\) là đường trung bình của tam giác SAO\( \Rightarrow ME//SO \Rightarrow ME \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow EN\) là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABCD)\( \Rightarrow \widehat {\left( {MN;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN;EN} \right)} = \widehat {MNE} = {60^0}\)

Gọi H là trung điểm của AB ta có: HE; HN  lần lượt là đường trung bình của tam giác OAB và tam giác ABC

\(\Rightarrow HE//OB;HN//AC\).

Mà \(OB\bot AC\Rightarrow HE\bot HN\Rightarrow \Delta HEN\) vuông tại H

Hình vuông ABCD cạnh a\( \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \(HE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};HN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow EN = \sqrt {H{E^2} + H{N^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{8} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\)

\(ME \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow ME \bot EN \Rightarrow \Delta MNE\) vuông tại E\( \Rightarrow ME = NE.tan60 = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\)

 Vì ME là đường trung bình của tam giác SAO nên \(SO = 2ME = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\frac{{a\sqrt {30} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}\)

Chọn D.