Xác định \(m\) để phương trình sau có nghiệm duy n...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = x - \dfrac{1}{2}\), khi đó phương trình trở thành phương trình ẩn \(t\) (*).

+) Chứng minh nếu \(t = {t_0}\) thì \(t =  - {t_0}\) cũng là nghiệm của (*) \( \Rightarrow {t_0} = 0 \Rightarrow m = ?\)

+) Thay \(m\) ngược lại vào phương trình ban đầu, giải phương trình bằng phương pháp phân khoảng.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = x - \dfrac{1}{2}\), khi đó phương trình trở thành \(\left| {t + \dfrac{1}{2}} \right| + \left| {\dfrac{1}{2} - t} \right| = m\,\,\left( * \right)\).

Giả sử \(t = {t_0}\) là nghiệm của phương trình (*), ta có

\(\left| {{t_0} + \dfrac{1}{2}} \right| + \left| {\dfrac{1}{2} - {t_0}} \right| = m \Rightarrow \left| {\left( { - {t_0}} \right) + \dfrac{1}{2}} \right| + \left| {\dfrac{1}{2} - \left( { - {t_0}} \right)} \right| = m \Rightarrow t =  - {t_0}\) cũng là nghiệm của (*).

Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow t = 0\).

\( \Rightarrow \left| {0 + \dfrac{1}{2}} \right| + \left| {\dfrac{1}{2} - 0} \right| = m \Leftrightarrow m = 1\).

Thay ngược lại \(m = 1\) vào phương trình đề bài ta có: \(\left| x \right| + \left| {1 - x} \right| = 1\).

+) TH1: \(x < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| =  - x\\\left| {1 - x} \right| = 1 - x\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành \( - x + 1 - x = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

+) TH2: \(0 \le x < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = x\\\left| {1 - x} \right| = 1 - x\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành \(x + 1 - x = 1 \Leftrightarrow 1 = 1\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có vô số nghiệm.

+) TH3: \(x \ge 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = x\\\left| {1 - x} \right| = x - 1\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành \(x + x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy khi \(m = 1\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {0;1} \right]\) có vô số nghiệm \( \Rightarrow m = 1\) không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chọn A.