Cho tam giác \(ABC\) cân ở \(A\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta ABH=\Delta ACH\) rồi suy ra \(HB = HC\) khi đó H là trung điểm của BC.

b) Chỉ ra \(AM=AN \) thông qua chứng minh 2 tam giác bằng nhau.

c) Để chứng minh BC là đường trung trực của MP ta chứng minh nó đi qua trung điểm của MP và vuông góc với MP.

d) Chứng minh đường thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thứ nhất và thứ 2. Suy ra cả ba đường đều đi qua 1 điểm O.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh: \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(\angle BAH = \angle HAC.\)

Xét \(\Delta ABH\& \Delta ACH\) ta có :

\(\begin{array}{l}AB = AC\\\angle B = \angle C\end{array}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {GT} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền- góc nhọn)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HB = HB\\\angle BAH = \angle HAC.\end{array} \right.\) (cạnh và góc tương ứng)

Hay \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(\angle BAH = \angle HAC.\)

b) 

Xét \(\Delta AMH\& \Delta A{\rm N}H\) ta có:

\(AH\,chung\)

\(\angle MAH = \angle {\rm N}AC.\)(cmt)

\(\angle AMH = \angle A{\rm N}H = {90^0}\,(GT)\)

\( \Rightarrow \Delta AMH = \Delta A{\rm N}H\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\( \Rightarrow AM = A{\rm N}\) (cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta AM{\rm N}\) có \(AM = A{\rm N}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AM{\rm N}\) là tam giác cân tại \(A\) .

c) Ta có: \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm N}P\)

\( \Rightarrow HP = H{\rm N}\) (1)

Mà \(\Delta AMH = \Delta A{\rm N}H\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow HM = H{\rm N}\)       (2)  (cạnh tương tứng)

Từ (1) và (2) suy ra: \(HP = HM = H{\rm N}\)

Trong \(\Delta M{\rm N}P\) có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác đó là tam giác vuông.

\(M{\rm N} \bot MP\)

Gọi O là giao điểm của AH với MN.

Vì \(\Delta AM{N}\) là tam giác cân nên \(AO\bot MN\,\,\,hay\,\,\,AH\bot MN \,\,\,\left( 3 \right)\)

Lại có : \(AH\bot BC\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra : \(MN //BC\)

Mà \(M{ N} \bot MP \Rightarrow BC \bot MP \Rightarrow HK \bot MP\)

Xét tam giác \(\Delta HMP\) có \(HM=HP\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta HMP\) cân tại H.

Có \(HK\bot MP\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow HK\) là đường cao của \(\Delta HMP\)

Hay \(BC\) chính là đường trung trực của MP (đpcm).

d) Trong tam giác \(\Delta MNP\) có : \(MH;\,NK\) là hai đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ đỉnh M và N.

Mà \(NK\) cắt \(MH\) tại điểm \(D\) (gt)

\( \Rightarrow D\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\)

Lại có : O là trung điểm của MN

do đó : \(PO\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(P\Rightarrow PD\) đi qua O.    (5)

Mặt khác :  O là giao điểm của AH với MN. (6)

Từ (5) và (6) suy ra : ba đường thẳng \(AH;MN;DP\) cùng đi qua 1 điểm đó là điểm O.  (đpcm)