Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,3} \righ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BH.\) 

Từ đó ta tìm được tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của\(AC\) và  \(CD.\)

Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD \Rightarrow \) tọa độ điểm \(K.\)

Lập phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(K\) và \(C.\)

\( \Rightarrow B\) là giao điểm của \(BC\) và \(BH.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {1;\, - 1} \right).\)

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BH \Rightarrow AC\) nhận  vecto \(\left( {1;\,\,1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AC:\,\,x + 1 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4; - 2} \right).\)

\(BH \cap AC = \left\{ H \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;\,\,1} \right).\)

Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD\) 

Phương trình đường thẳng \(HK\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(CD,\) nhận \(\left( {3; - 1} \right)\)  làm VTPT  là:

\(HK:\,\,\,3\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(CD\) và \(HK \Rightarrow \) tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2 = 0\\3x - y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{5}\\y =  - \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{2}{5}; - \frac{4}{5}} \right).\)

\(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(CD \Rightarrow I\)  là trung điểm của \(HK \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{5}; - \frac{{13}}{5}} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(C\left( {4; - 2} \right)\) và \(K\left( { - \frac{1}{5}; - \frac{{13}}{5}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{ - \frac{1}{5} - 4}} = \frac{{y + 2}}{{ - \frac{{13}}{5} + 2}} \Leftrightarrow \frac{3}{5}\left( {x - 4} \right) = \frac{{21}}{5}\left( {y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x - 4 = 7y + 14 \Leftrightarrow x - 7y - 18 = 0\end{array}\)

Khi đó \(B\) là giao điểm của \(BH\) và \(BC \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3; - 3} \right).\)

Chọn  B.