Cho các số nguyên dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích, lập luận và đánh giá theo $x,\,\,y,\,\,z$.

Giải chi tiết:

Ta có: $60=3.4.5$

+) Giả sử: cả $x,\,\,y,\,\,z$ đều không chia hết cho 3.

    Khi đó $x,\,\,y,\,\,z$ chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên ${x^2};{y^2};{z^2}$ chia cho 3 dư 1.

    Suy ra chia cho 3 dư 2 mà ${z^2}$ chia cho 3 dư 1           (vô lí)

    Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.

    Vậy $xyz \vdots 3$            (1).

+)  Giả sử cả $x,\,\,y,\,\,z$ không chia hết cho 4.
     Khi đó $x,\,\,y,\,\,z$ chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    -) Xét TH1: Cả $x,\,\,y,\,\,z$ lẻ suy ra ${{x}^{2}};{{y}^{2}};{{z}^{2}}$ chia 4 dư 1.
        $\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 4 \right)$ ( loại )
    -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn $\Rightarrow xyz \vdots 4$
    -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
                        Với $x,\,\,y$  lẻ thì ${{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod4 \right)$ ( loại do z chẵn nên ${{z}^{2}}\equiv 0\,\,\left( \bmod 4 \right)$)
                        Với $x,\,\,\,z$  lẻ thì ${{y}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)$.
       Ta luôn có ${y^2} = \left( {z - x} \right)\left( {z + x} \right)\,\, \vdots \,\,8$  mà ${y^2}\not  \vdots 4$           (vô lí)

      Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Vậy $xyz\vdots 4$     (2).
+) Giả sử cả $x,\,\,y,\,\,z$ không chia hết cho 5.
    Khi đó $x,\,\,y,\,\,z$ chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra ${x^2};{y^2};{z^2}$ chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    -) Xét TH1: ${{x}^{2}}$ chia cho 5 dư 1; ${{y}^{2}}$ chia cho 5 dư 1 $\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right)$   (loại)
    -) Xét TH2:  chia cho 5 dư -1; ${y^2}$ chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv  - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\)  (loại)
    -) Xét TH3: ${{x}^{2}}$ chia cho 5 dư 1; ${{y}^{2}}$ chia cho 5 dư -1$\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right)$   (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.

Vậy $xyz \vdots 5$    (3).
Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right)$.