Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(B' \in SB;\,\,C' \in SC\) sao cho \(SA = SB' = SC' = 3\). Tính \({V_{S.AB'C'}}\) từ đó tính \({V_{S.ABC}}\).

+) \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SAB}}}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(B' \in SB;\,\,C' \in SC\) sao cho \(SA = SB' = SC' = 3\)

\( \Rightarrow \Delta SAB';\,\,\Delta SB'C';\,\,\Delta SAC'\)  là các tam giác đều cạnh 3

\( \Rightarrow AB' = B'C' = AC' = 3 \Rightarrow \Delta AB'C'\) đều cạnh 3.

Gọi O là trọng tâm tam giác đều AB’C’ \( \Rightarrow SO \bot \left( {AB'C'} \right).\) Ta có: \(AO = \frac{2}{3}\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{3^2} - 3}  = \sqrt 6 \).

\({S_{AB'C'}} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{AB'C'}} = \frac{1}{3}.\sqrt 6 .\frac{{9\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{3}{4}.\frac{3}{5} = \frac{9}{{20}} \Leftrightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{20}}{9}{V_{S.AB'C'}} = 5\sqrt 2 \).

Lại có \({S_{SAB}} = \frac{1}{2}SA.SB.\sin \widehat {ASB} = \frac{1}{2}.3.4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \) .

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SAB}}}} = \frac{{3.5\sqrt 2 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\).

Chọn D.