Số nghiệm của phương trình \({\sin ^2}\left( {x -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) để đưa phương trình về dạng

\({\sin ^2}f\left( x \right) = {\sin ^2}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left| {\sin f\left( x \right)} \right| = \left| {\sin g\left( x \right)} \right|\) rồi giải phương trình.

+) Sau đó tìm nghiệm của phương trình thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\;\pi } \right].\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}x \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \left| {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\;\;\;\;\left( 1 \right)\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \\VN\end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \;\;\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) 

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi ;\;\pi } \right] \Leftrightarrow  - \pi  \le \frac{{3\pi }}{8} + k\pi  \le \pi \)

\(\begin{array}{l} - \frac{{11\pi }}{8} \le k\pi  \le \frac{{5\pi }}{8} \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{8} \le k \le \frac{5}{8} \Leftrightarrow  - 1,375 \le k \le 0,625 \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\;0} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{{5\pi }}{8}\\x = \frac{{3\pi }}{8}\end{array} \right..\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi  - x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}VN\\x = \frac{{7\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi ;\;\pi } \right] \Leftrightarrow  - \pi  \le \frac{{7\pi }}{8} + k\pi  \le \pi \)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{15\pi }}{8} \le k\pi  \le \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow  - \frac{{15}}{8} \le k \le \frac{1}{8} \Leftrightarrow  - 1,875 \le k \le 0,125\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\;0} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{8}\\x = \frac{{7\pi }}{8}\end{array} \right..\)

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.