Phương trình  \({\sin ^6}\left( {...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\sin \left( {x + 3\pi } \right) =  - \sin x;\;\;\cos \left( {x + 5\pi } \right) =  - \cos x.\)

+) Rút gọn các công thức:

\(\begin{array}{l}\;\;\;{\sin ^6}\left( {x + 3\pi } \right) + {\cos ^6}\left( {x + 5\pi } \right) = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\ = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x.\\{\cos ^2}2x = {({\cos ^2}x - {\sin ^2}x)^2} = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\end{array}\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;{\sin ^6}\left( {x + 3\pi } \right) + {\cos ^6}\left( {x + 5\pi } \right) = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\ = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x\end{array}\)

Và biến đổi : \({\cos ^2}2x = {({\cos ^2}x - {\sin ^2}x)^2} = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

 \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - \sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x{\cos ^2}x + \sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {\sin x.cosx + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin 2x =  - 2\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)  

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;2\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{{k\pi }}{2} < 2\pi  \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}.\)  

Phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.

Chọn D.