Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right|\) để đưa về phương trình đại số ẩn t

- Với mỗi giá trị t tìm được, giải phương trình lượng giác \(t = \sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right|\)

Giải chi tiết:

Đặt  \(t = \sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right|\) , suy ra  \(2t = \sin 2x + 2\left| {\sin x + \cos x} \right|\)

Phương trình (1) trở thành \(2 + t = \frac{3}{t} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\end{array} \right.\)

Với \(t = 1\) ta có: \(\sin x\cos x + 2\left| {\sin x + \cos x} \right| = 1\)

                    \(\left| {\sin x + \cos x} \right| = 1 - \sin x\cos x\,\,\,\,\,(a)\)

Đặt \(u = \left| {\sin x + \cos x} \right|\,\,\left( {0 \le u \le \sqrt 2 } \right)\), thế thì: \(\sin x\cos x = \frac{{{u^2} - 1}}{2}\).

 Phương trình (a) \( \Leftrightarrow t = 1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)(do \(0 \le u \le \sqrt 2 \))

Thay vào: \(\left| {\sin x + \cos x} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right).\)

Với \(t =  - 3\) ta có  \(\sin x\cos x + \left| {\sin x + \cos x} \right| =  - 3\)

                     \( \Leftrightarrow \left| {\sin x + \cos x} \right| =  - 3 - \sin x\cos x\,\,\,\,\,\,\,(b)\)

Ta có: \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\)

\( \Rightarrow  - \frac{7}{2} \le  - 3 - \sin x\cos x \le \frac{{ - 5}}{2} < 0 < \left| {\sin x + \cos x} \right|\), suy ra phương trình (b) vô nghiệm.

Vậy phương trình có một họ nghiệm \(x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,(k \in Z)\)

Xét: \(0 < \frac{{k\pi }}{2} < 10 \Leftrightarrow 0 < k < \frac{{20}}{\pi } \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).Vậy có 6 nghiệm thõa mãn.

Chọn D.