Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-       Để chứng minh phương trình có nghiệm khi \(\Delta  \ge 0\)

-       Sử dụng tính chất : nếu tổng 2 số \( \ge A\) thì trong 2 số có 1 số \( \ge \dfrac{A}{2}\)

Giải chi tiết:

Xét 2 phương trình \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b = 0\\{x^2} + cx + d = 0\end{array} \right.\)có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = {a^2} - 4b\\{\Delta _2} = {c^2} - 4d\end{array} \right.\)

Xét \({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d\).

Mà \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2 \Leftrightarrow ac \ge 2\left( {b + d} \right)\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right)\)

Ta có \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} \ge 2ac\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right) \ge 2ac - 4\left( {b + d} \right) \ge 4\left( {b + d} \right) - 4\left( {b + d} \right) = 0\\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\end{array}\)

Suy ra tồn tại 1 trong 2 số \({\Delta _1};{\Delta _2} \ge 0\)

Trong hai phương trình \({x^2} + ax + b = 0;\,\,{x^2} + cx + d = 0\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm.

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) có nghiệm.