a) Cho các số thực dương thỏa mãn \( \sqrt{a}+\sqr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Ta có \( \frac{1}{2}\sqrt{\left( a+3b \right)\left( b+3a \right)}\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\frac{a+3b+b+3a}{4}=a+b\)

Từ giả thiết ta có \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}=1-a-b\Leftrightarrow 4ab={{\left( 1-a-b \right)}^{2}}\) .

\( \begin{align}  & 3{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)+4ab\ge \frac{1}{2}\sqrt{\left( a+3b \right)\left( b+3a \right)}\Leftrightarrow 3{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)+{{\left( 1-a-b \right)}^{2}}\ge a+b \\  & \Leftrightarrow 3{{a}^{2}}+6ab+3{{b}^{2}}-2a-2b+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1-2a-2b+2ab\ge 0 \\  & \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+1+8ab-4a-4b\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( 1-2a-2b \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung \right) \\ \end{align}\)  

b) Xét tam giác ABC với A, B, C là 3 điểm trong 100 điểm đã cho.Vậy đẳng thức được chứng minh.

Lấy D là điểm thứ tư \( \Rightarrow \)  hoặc \( D\in AB\) , hoặc \( D\in AC\) , hoặc \( D\in BC\) .

Không mất tính tổng quát ta giả sử \( D\in BC\) .

Lấy điểm E là điểm thứ năm.

Nếu \( E\in AB\)  thì trong 4 điểm A ; D ; C ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Nếu \( E\in AD\)  thì trong 4 điểm A ; B ; C ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Nếu \( E\in AC\)  thì trong 4 điểm A ; D ; B ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Do đó \( E\in BC\) .

Tương tự ta chứng minh được 95 điểm còn lại đều thuộc BC. Cho nên nếu bỏ đi điểm A thì 99 điểm còn lại đều thuộc BC.