a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng đầy đủ các bước lập BBT của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\).

b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết:

a) + Tập xác định \(D = R\).

    + Bảng biến thiên:

+ Vẽ đồ thị hàm số

+ Đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\)

+ Trục đối xứng \(x =  - 1\)

+ Giao với trục tung \(A\left( {0;3} \right)\)

+ Giao với  trục hoành tại \(B\left( {1;0} \right);\,\,B'\left( { - 3;0} \right)\).

Để phương trình có nghiệm thì: \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\) 

b) Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m - 1 = 2m - 1\).

Để phương trình có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow 2m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Với \(m \ge \dfrac{1}{2}\) theo định lí Viét  ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 1\end{array} \right.\).

\(T = {x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 2m + 1 + 8m = {m^2} + 6m + 1\)  suy ra  \(T = f\left( m \right) = {m^2} + 6m + 1\).

BBT:

Dựa vào BBT của \(f\left( m \right)\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta tìm được GTNN của T bằng \(\dfrac{{11}}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \({T_{\min }} = \dfrac{{11}}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).