Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất v...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi hàm số trở thành phương trình bậc nhất đối với \(\sin x,\cos x\) và tham số \(y\).

- Sử dụng điều kiện để phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm \(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\).

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\sin x+2\cos x+3\ne 0\).

Khi đó:

\(\begin{align}  & y=\frac{2\sin x+\cos x+3}{\sin x+2\cos x+3}\Leftrightarrow 2\sin x+\cos x+3=y\left( \sin x+2\cos x+3 \right) \\  & \Leftrightarrow \left( y-2 \right)\sin x+\left( 2y-1 \right)\cos x=3\left( 1-y \right)\left( * \right) \\ \end{align}\)

Phương trình (*) có nghiệm nếu và chỉ nếu \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \ge 9{\left( {1 - y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} - 8y + 5 \ge 9{y^2} - 18y + 9 \Leftrightarrow 4{y^2} - 10y + 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le y \le 2\)

Vậy \(M=2;m=\frac{1}{2}\Rightarrow M.m=1\)

Chọn A.