Cho phương trình : \({x^2} + \left( {4m - 1} \righ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước hết ta cần tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\)  và \({x_2}\) . Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho  về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow {\left( {4m - 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) > 0  \cr &  \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 > 0  \cr &  \Leftrightarrow 16{m^2} - 16m + 33 > 0  \cr &  \Leftrightarrow 16{m^2} - 2.4m.2 + 4 + 29 > 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 > 0\,\,\,\,\forall m \cr} \)

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\)  và  \({x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} =  - \left( {4m - 1} \right)  \cr {x_1}{x_2} = 2\left( {m - 4} \right)  \cr}  \right.\)  (1)

Ta có: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)     (2).

Thay (1) vào (2) được:

 \(\eqalign{& A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( { - 4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32  \cr & \,\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 16m + 33 = {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 \ge 29,\,\,\,\forall m  \cr &  \Rightarrow {A_{\min }} = 29 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}. \cr} \)

 Vậy với \(m = {1 \over 2}\) thì \({A_{\min }} = 29.\)

 Chọn C.