Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(\frac{10}{x}+\frac{10}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Nhận xét: bài toán cho biểu thức chứ \(x,y\) ở mẫu nên ta phải tìm cách làm xuất hiện \(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\)để áp dụng bất đẳng thức Cô-si triệt tiêu được thành phần \(x,y\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại

\(D=x+y=\frac{1}{2017}\left( \frac{10}{x}+\frac{10}{y} \right)\left( x+y \right)=\frac{1}{2017}\left( 10+\frac{10x}{y}+\frac{10y}{x}+10 \right)=\frac{1}{2017}\left( 20+\frac{10x}{y}+\frac{10y}{x} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\frac{10x}{y},\frac{10y}{x}\) ta nhận được \(\frac{10x}{y}+\frac{10y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{10x}{y}.\frac{10y}{x}}=20.\)

Do đó

\(D=\frac{1}{2017}\left( 20+\frac{10x}{y}+\frac{10y}{x} \right)\ge \frac{1}{2017}\left( 20+20 \right)=\frac{40}{2017}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10x}}{y} = \frac{{10y}}{x}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = 2017\\x,y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x^2} = 10{y^2}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = 2017\\x,y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = 2017\\x,y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\\frac{{20}}{x} = 2017\\x,y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{{20}}{{2017}}.\)

Chọn đáp án C.