Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{{{x}^{2}}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức đã cho thành phương trình bậc hai với ẩn \(x\) và tham số \(Q\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN của \(Q\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có  \(Q=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+2x+2}\Leftrightarrow Q\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)={{x}^{2}}+x+1\Leftrightarrow \left( Q-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2Q-1 \right)x+Q-1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(Q\) thỏa mãn \(Q=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+2x+1}\,\,\left( x\ne -1 \right)\)  khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(Q=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2.1-1 \right)x+\left( 1-1 \right)=0\Leftrightarrow x=0.\)

Trường hợp 2. \(Q\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - 4\left( {Q - 1} \right)\left( {Q - 1} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - {\left( {2Q - 2} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\left( {2Q - 1} \right) - \left( {2Q - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {2Q - 1} \right) + \left( {2Q - 2} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1.\left( {4Q - 3} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{4}\end{array}\)

Với \(Q=\frac{3}{4}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\left( \frac{3}{4}-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2.\frac{3}{4}-1 \right)x+\frac{3}{4}-1=0\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) là \(\frac{3}{4}\) đạt được tại \(x=1.\)

Chọn đáp án A.