Điều kiện để có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{1 + {a^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta biến đổi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} = \left( {\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}}} \right)\\ = \dfrac{{\left( {1 + ab} \right) - \left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 + ab} \right) - \left( {1 + {b^2}} \right)}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{a\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \dfrac{{b\left( {a - b} \right)}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\left( {\dfrac{a}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{b}{{1 + {b^2}}}} \right)\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\dfrac{{a\left( {1 + {b^2}} \right) - b\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\dfrac{{\left( {a - b} \right) + ab\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}.\end{array}\)

Để \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \geqslant \dfrac{2}{{1 + ab}}\)đúng thì ta cần \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} \geqslant 0\)hay \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \geqslant 0\,\left( 1 \right).\)

Do

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\1 + {a^2} > 0\\1 + {b^2} > 0\end{array} \right.\)

 nên \(\left( 1 \right)\) đúng khi và chỉ khi 

\(\dfrac{{ab - 1}}{{ab + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {ab - 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}}{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {ab - 1} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 0\\ab + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}ab \ge 1\\ab \le - 1\end{array} \right.\\ab \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ab \ge 1\\ab < - 1\end{array} \right.\)

Chọn đáp án D.