Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và một điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Do \(DE\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(\widehat {DCE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(CD \bot CE.\) Mặt khác theo giả thiết ta có \(CD \bot AB.\)

Do đó \(AB//CE.\) Vậy tứ giác \(ABEC\) là hình thang \(\left( 1 \right).\)

Mặt khác các dây \(CE,AB\) là hai dây song song của \(\left( O \right)\) chắn hai cung \(AC\) và \(BE\) nên \(sdAE=sdBC\) suy ra \(AE=BC\)

Mặt khác \(\widehat {DAE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = \left( {M{A^2} + M{D^2}} \right) + \left( {M{B^2} + M{C^2}} \right) = A{D^2} + B{C^2} = D{E^2} = 4{R^2} = 4.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(M{A^2},M{B^2}\) ta có

\(M{A^2} + M{B^2} \geqslant 2MA.MB \Rightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 2M{A^2} + 2M{B^2} \geqslant M{A^2} + M{B^2} + 2MA.MB = {\left( {MA + MB} \right)^2}.\)

Tương tự

\(2\left( {M{C^2} + M{D^2}} \right) \geqslant {\left( {MC + MD} \right)^2}.\)

Bằng cách tương tự trên ta chứng minh được

\(2\left[ {{{\left( {MA + MB} \right)}^2} + {{\left( {MC + MD} \right)}^2}} \right] \geqslant {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)

Từ đó ta suy ra \(4\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}} \right) \geqslant {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\) Vì vậy

\({\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2} \leqslant 4.4 = {4^2} \Rightarrow MA + MB + MC + MD \leqslant 4.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(MA = MB = MC = MD.\) Khi đó \(M \equiv O.\)

Chọn đáp án D.